Когда мы слышим слова «производная» или «интеграл», то у многих из нас пробегает холодок по спине из-за воспоминания о сложных школьных задачках. Мы думаем, что это чистая абстракция, далекая от реальной жизни. А ведь эти теоретические концепции позволяют создавать станки с плавными и точными движениями, которые вытачивают идеальные детали, например, для авиационных двигателей. Все это теория дробного исчисления.
Как формулы из высшей математики превращаются в реальные технологии рассказала доктор физико-математических наук, завкафедрой вычислительной механики и информационных технологий, профессор кафедры математического анализа ЧелГУ Марина Плеханова в программе «Такая наука» на радио «Комсомольская правда-Челябинск» (95,3 FM).
Программа «Такая наука» посвящена научным достижениям южноуральских ученых. Ведущая — доктор филологических наук, доцент Анна Таскаева.
— Расскажите, над чем Вы работаете и какие научные задачи Вас вдохновляют?
— Любой человек, который приходит в профессию преподавателя, связан с наукой и не может остановиться на чем-то одном. Мои первые работы были посвящены уравнению математической физики, задачам оптимального управления. Сейчас область исследования гораздо шире. Конечно, мы не обходимся и без задач искусственного интеллекта. Но если говорить именно о научной составляющей, о тех темах, которым посвящено большинство наших научных работ, — это дробное исчисление или уравнение с дробными производными.
— Так что же такое все-таки дробная производная простыми словами? Я так понимаю, что если обычная производная описывает, как быстро что-то меняется, то что описывает ее дробный собрат?
— Изначально производные возникли чуть ли не одновременно. Ньютон придумал ее как физическое понятие, так как вы сейчас озвучили, — это скорость материальной точки. А Лейбниц одновременно с этим придумал определение производной как угол касательной, это были производные первого и второго порядка — все те, которые мы считаем еще со школы. С точки зрения математики: у каждого действия есть обратное действие, у производной обратное к ней — это интеграл. Если производная — это первый порядок, то интеграл — это минус первый, потому что это обратное действие.
Таким образом, возникли производные отрицательного порядка. Дальше эта теория развивалась, и как композиция соединения понятия производной и интеграла совместно возникло понятие дробной производной.
— А как вы пришли в эту область? Это была случайность или осознанный поиск новых математических инструментов для решения конкретных задач?
— Когда я пришла в ЧелГУ в 1996 году (почти 30 лет назад) и попала на кафедру математического анализа, моим научным руководителем стал Владимир Евгеньевич Федоров. Так мы с ним математикой с тех пор и занимаемся. Тогда это были уравнения математической физики, уравнения в банаховых пространствах — им была посвящена моя кандидатская диссертация.
А потом, в 2015 году, приехал ученый из Алжира, математик Амар Дебуш, и привез тематику дробных производных. Владимир Евгеньевич начал с ним сотрудничать, и в итоге выяснилось, что это активно развивающаяся теория, имеет огромное применение.
— Когда и у кого впервые возникла идея дробной производной, и почему же она не находила такого широкого практического применения долгое время?
— Вообще, о том, бывают ли производные хотя бы порядка одна вторая, задумывался еще сам Лейбниц, который придумал производную. Но тогда никакого ответа не нашлось, и только к середине XIX века, при решении задачи о таутохроне… Задача была такая: найти форму линии, чтобы, скатываясь с любой точки, всегда в одно и то же время оказываться внизу. Вот какой формы должна быть горка?
Решая такую задачу, Абель (Нильс Хенрик Абель, норвежский математик. — Ред.) построил фактически первую дробную производную, хотя ее так не называл. Дальше был ряд работ, где каждая из этих фамилий называет свою производную: производная Римана, производная Лиувилля, производная Грюнвальда-Летникова и так далее.
— В своих исследованиях Вы говорите о создании более простых и эффективных систем управления для роботов и станков. Для этого вы применяете дробные производные. Как же это происходит?
— Почему производная не получила широкого развития, как только она появилась? Не было вычислительных возможностей. Особенность дробной производной (если говорить о ее физическом смысле) в том, что она обладает «памятью». Если производная обычная — это мгновенная скорость, то производная дробная «помнит» сколько-то назад, в зависимости от того, как вы ее будете задавать. Это большая нагрузка на мощности системы. Сейчас у нас есть эти мощности, и мы можем вернуться к численным исследованиям.
В наш университет обратилась компания, которая планирует производство пятиосевых станков. Это очень высокоточные станки, у нас есть только один производитель, а они хотят стать вторыми. У компании была проблема с математическими аспектами движения инструмента в этом станке. Мы начали изучение этого вопроса, пришлось вникнуть во многие инженерные вещи, но в итоге выяснилось, что именно наши дробные производные помогают в ряде проблем.
Дело в том, что плавное движение самого инструмента — чтобы он не рывками двигался от точки к точке — происходит как раз за счет эффекта памяти, потому что она помнит предыдущий свой «опыт». Наша задача связана с вибрацией станков. С ней можно бороться разными способами: механическими — укрепить станок и все его части, а можно бороться с помощью коррекции движения. Как оказалось, для этой корректировки есть очень стройная теория. Она завязывает и уравнения с дробными производными, и задачи оптимального управления. С нами также работают программисты.
Впереди нас ждут испытания на настоящем станке, к которому, честно говоря, подходить даже немножко страшно. Но и очень хочется увидеть свою математику в реальности.
— Интересна ли такая современная прикладная математика сегодняшним студентам?
— Мы сейчас налаживаем контакты с предприятиями. Я рассказываю нашим работодателям, что когда мы открыли студенческое конструкторское бюро, туда в первую очередь начали приходить математики и программисты с нашего математического факультета. Удивительно, что на направлении чистой математики у меня уже пять человек умеют паять и обращаться с железом, то есть работать руками. Ребятам очень интересно, как эта классическая математика применяется здесь и сейчас.